以下是在数学和应用中极为重要的行列式类型及其简要说明.
对角矩阵行列式
形式 :
性质 :
对角元素乘积直接给出行列式，计算最简.
上 / 下三角矩阵行列式
形式 :
性质 :
三角矩阵的行列式等于主对角线元素乘积.
副对角线矩阵
形式
对于
阶矩阵，副对角线矩阵的一般形式为 : 其中
为副对角线上的元素.
计算方法与公式
副对角线行列式的值为 : 说明 :
符号项 :
由排列的逆序数决定.
副对角线元素乘积 : .
公式推导
逆序数分析 :
副对角线矩阵的排列可以看作将自然顺序 反转为 .
该排列的逆序数为 : 因此符号为 .
展开式验证 :
以三阶矩阵为例 : 行列式展开后唯一非零的排列是 ，其逆序数为 ，符号为 ，故 :
特殊情况举例
二阶副对角线行列式 :
四阶副对角线行列式 :
性质与技巧
转置不改变行列式 :
副对角线矩阵的转置仍是副对角线矩阵，行列式值不变.
行交换法 :
通过交换行将副对角线矩阵转换为对角矩阵，需进行
次相邻行交换，每次交 ...
The phrases "the number of" and "a number
of" are often confused, but they function very differently in
sentences. Here's how they differ:
1. The number of
Meaning: Refers to a specific
quantity (how many) of something.
Grammar:
Followed by a plural noun (e.g., students,
jobs).
Singular verb because "number" is the
subject.
Example:
The number of applicants has increased this
year.
The number of jobs created is impressive.
2. A number of
Meaning: Means " ...
The word "as" is versatile and has multiple uses in
English, functioning as a conjunction,
preposition, or adverb. Below is a
breakdown of its common uses with examples:
1. As a Conjunction
Used to connect clauses or phrases.
a. Time
Meaning: "While" or "during the time that."
As I was cooking, the phone rang.
She smiled as she opened the gift.
b. Reason
Meaning: "Because" or "since" (though slightly more
formal).
As it was raining, we canceled the picnic.
As you’ ...
英语冠词用法详解
冠词是英语中用于限定名词的一类虚词，分为 定冠词 ( the )
、不定冠词 ( a/an ) 和 零冠词 (
不用冠词的情况 ) . 以下是具体用法和常见规则：
一、定冠词 ( the )
用法：
1. 特指双方已知的事物：
- Pass me the book on the table. ( 请递给我桌上那本书.
) → 双方都知道是哪本书.
2. 独一无二的事物：
- The sun rises in the east. ( 太阳从东方升起. )
3. 上文提过的事物：
- I saw a cat. The cat was black. (
我看到一只猫，那只猫是黑色的. )
4. 形容词最高级或序数词前：
- He is the tallest student in the class. (
他是班里最高的学生. )
- This is the first time I’ve been here. (
这是我第一次来这里. )
5. 某些地理名称前：
- 江河海洋：the Nile, the
Pacific
...
"有形用 with，无形用 by"
是一种简化的语法规则，用于区分介词 with 和
by 在表示"工具、手段"时的用法. 具体解析如下：
1. 基本规则
with：表示
具体、有形的工具或伴随物，强调直接使用某物.
例句：
She wrote the letter with a pen. ( 她用钢笔写信.
)
He opened the door with a key. ( 他用钥匙开门.
)
by：表示
抽象、无形的手段或方法，常用于被动语态或泛指某种方式.
例句：
The book was written by a famous author. (
这本书是一位著名作家写的. )
We communicate by email. ( 我们通过邮件沟通. )
2. 常见搭配对比
with ( 具体工具 )
by ( 抽象手段 )
cut with a knife ( 用刀切 )
succeed by hard work ( 通过努力成功 ) ...
"in, on, at" 在时间表达中的区别详解
at：用于具体的时间点
用法：表示精确的钟点、瞬间或短暂的时间段.
常见搭配：
钟点：at 7:30 PM ( 晚上7:30 )
固定短语：at noon ( 正午 )、at
midnight ( 午夜 )、at dawn ( 黎明 )
节日时刻：at Christmas (
圣诞节期间，强调整个节日氛围 )
例句：
The meeting starts at 9 AM.
We usually have a family dinner at New
Year.
on：用于具体的某一天或日期
用法：表示特定的日期、星期几或某天的某段时间.
常见搭配：
星期几：on Monday ( 星期一 )
具体日期：on July 4th ( 7月4日 )
某天的上午/下午/晚上：on Tuesday morning (
周二早上 )
特殊日子：on my birthday ( 在我的生日当天
)
例句：
The concert is on ...
悬垂修饰语 ( Dangling Modifier )
是英语语法中常见的错误，指 修饰语 (
如分词、动名词、不定式或介词短语 ) 在句子中
没有明确修饰的对象，导致逻辑混乱或歧义.
这种错误通常是因为修饰语与主句的主语不匹配，或主句缺少被修饰的主语.
悬垂修饰语的常见形式
分词短语悬垂
错误 Running to catch the bus, the backpack fell
off.
( "跑向公交车"的逻辑主语应该是人，但主句主语是"背包"，导致逻辑矛盾.
)
修正 Running to catch the bus, I dropped my
backpack.
动名词短语悬垂
错误 After finishing the homework, the TV was turned
on.
( "完成作业"的主语应是"人"，但主句主语是"电视". )
修正 After finishing the homework, I turned on the
TV.
不定式短语悬垂
错误 To win the race, training i ...
要证明华理士公式
的递推关系及其具体表达式，我们可以使用递推法和数学归纳法.
以下是详细的证明步骤：
1. 递推关系的建立
首先，我们考虑 .
使用分部积分法，设 和 ，则
和 .
根据分部积分公式：
由于 和 ，边界项为零.
因此：
利用三角恒等式 ，得到：
整理得到递推关系：
2. 递推关系的应用
根据递推关系 ，我们可以逐步计算 .
情况一：
为正偶数
设 ，其中 为正整数. 则：
继续递推，直到 ：
已知 ，因此：
情况二： 为大于 1 的正奇数
设 ，其中 为正整数. 则：
继续递推，直到 ：
已知 ，因此：
3. 综合表达式
综合上述两种情况，我们得到： 为正偶数为大于的正奇数
4. 结论
通过递推关系和数学归纳法，我们证明了定积分公式 的具体表达式.
这个公式在计算涉及高次幂的三角函数积分时非常有用.
高频词组表
例句由 AI 生成.
1~99
英文词组
中文释义
例句
a bid to do sth.
努力做某事；尝试做某事
The company made a bid to increase its market share by launching new
products. ( 该公司努力通过推出新产品来提高市场份额. )
above all
首先；尤其是
Above all, you should keep calm in an emergency. (
首先，在紧急情况下你应该保持冷静. )
act out
把……表演出来；付诸行动
The children were asked to act out the story they had just read. (
孩子们被要求把刚读过的故事表演出来. )
after all
毕竟；终究
Don't be too hard on him. After all, he is just a child. (
...
一般来说，of sb. 前面的形容词是
careful，careless，clever，foolish，polite，impolite，lazy，good，kind，nice，wise...
说明
动词不定式的行为人的性格、品质.
for sb. 前面的形容词是
dangerous，difficult，easy，hard，heavy，important，interesting，necessary...
说明 不定式动作的特性.
例 It's very kind of
you to help me. ( 你能帮助我，真是太好了. )
例 It's foolish of him
to make such mistakes. ( 他真傻啊，竟然犯这种错误. )
例 It's dangerous for
you to swim alone. ( 你自己一个人去游泳很危险. )
例 It's very difficult
for us to climb the mountain. (
对我们来说爬这座山很困难. )
还有一个区别是：在 of sb. 中，可用
s ...
