卷积公式

在学习卷积公式前，先浅谈一下二重积分的换元法

二重积分的换元法

二重积分换元法是将二重积分中的变量进行换元，即将原二重积分中的变量 和 分别用 和 来表示，从而将原二重积分化为新的二重积分.

定义

设 在 平面上的闭区域 连续，若变换

将 平面上 一对一映射到 ，且满足

1. 在 上具有 一阶连续偏导数.

2. 在 上雅可比行列式不为 0，即

则：

卷积公式

设 为二维连续性随机变量, 概率密度为 , 则 仍为连续性随机变量, 其概率密度为

当 与 相互独立得到卷积公式

那么怎么来的呢?

不失一般性地考虑，如果给出一个 ，那么 的概率密度应为什么呢?

不妨将 中的 反解出来，改写为 或 那么应用我们学到的二重积分换元法，做变换令 或者 那么 平面上的区域 就变成了 或 平面上的 .

现考虑上式中 的情形，解得 ，不妨做变换令 ，那么 平面上的区域 就变成了 平面上的 . 求出它的雅可比行列式

继而可得

立即推

同理可得