第一章 函数与极限

本章节不提供详细的知识点.

函数的奇偶性

1. 奇 奇 偶
2. 奇 偶 奇
   
3. 奇 奇 奇
4. 偶 偶 偶
5. 奇复合奇 奇
   
6. 偶复合偶 偶
7. 偶复合奇 偶
   
8. 任一定义在对称与原点的数集 上的函数 ，必可分解成 一奇一偶 函数之和

函数极限与无穷小关系

证明：

先证充分性

设 ，由函数极限的定义有，对 ，，使得当 时，有 . 不妨令 ，则 为 时的无穷小. 且有 .

再证必要性

设 ，则有 ，由于当 时， 为无穷小，由函数极限的定义可知，对 ，，使得当 时，有 ，即 ，得证.

-+----< 例题1 >----+-

设 在 点处连续，且有 证明: 在 点处可导，且 .

证明：

由函数极限与无穷小关系可知，存在无穷小量 ，使得 ，

继而可得 ，又由于 在 点处连续，故 .

则

得证.

极限的保号性

设 ，且 ，则存在一个 的去心领域，使得在该领域内， 的符号与 相同.

证明：

设 ，由于 ，则对，，使得当 时，有 ，即 ，不妨取，则 .

同理可证 .

⪡ 注 ⪢

，( 其中 为极限值 )

考虑函数 ，易知 ，但当 时， 的极限为 . 故要添加等号使之成立，即 ，由此得到推论.

极限的保号性推论

设存在一个 的去心领域，在该领域内 或 ，且 存在且等于 ，则 或 .

⪡ 注 ⪢

当 或 ( ) 时，仍成立.

-+----< 例题2 >----+-

设 ，判断 是否为极值点?

解

， 由于 ，再由极限的保号性可知，存在 点处的一个去心领域，有 ，即 ，由极值点定义可知， 为极小值点.

常见的无穷大比较

当 时

常用的无穷小代换

当 时

⪡ 注 ⪢

对 中的 令其为 不难得出 ，同理可得 .

加减时等价无穷小替换原则

当 时，若 且 存在，则有

若 ，则有

若 ，则有

证明：

，注意到分母极限为 ，故 ，由等价无穷小定义可知 .

同理可得 .

⪡ 注 ⪢

实际做题中先等价代换，看相加减是否等于 ，如果不等于 直接代换即可，如果等于 ，可以考虑泰勒展开、洛必达或对式子变形等.

-+----< 例题3 >----+-

求极限 .

解

原式

⪡ 注 ⪢

极限存在是可以拆开的.

极限运算定理

对于两个极限都存在的情形不在此说明

存在 不存在 不存在

对于两个都不存在 ( 分别设为 )，则有 不能同时存在.即要么都不存在，要么只存在一个.

证明： 反证法

设 极限存在，且分别为 ，则有 ，得到 与已知矛盾.

⪡ 注 ⪢

由此也可知，两个函数和差的极限存在，推导不出来两个函数极限分别存在.例如 ，当 时，两个函数极限都不存在，但 极限存在.

极限常见的计算问题

对于极限的计算方法很多，如等价无穷小代换，泰勒展开，洛必达，倒代换，有理化，拉格朗日中值定理，积分中值定理，夹逼准则，定积分定义等. 做题时应灵活选取，且保证其应用正确性.

带根号的极限计算

-+----< 例题4 >----+-

求极限 .

分析 对于这种题通常会优先考虑有理化，分子有理化较为轻松，但分母含有一个三次根号，想到立方和公式 . 但立方和差公式忘了怎么办? 没关系，立即推.

考虑到一个等比数列 ，则有 ，令 ，则有

对等式两边同乘 ，改写为 ，做换元令 ，则有 .

解

原式

-+----< 例题5 >----+-

求极限 .

解

原式

带 的极限计算

-+----< 例题6 >----+-

设 为非零常数，求极限 .

分析 注意到，当 时，，当 时，，故需要考虑左右极限是否存在且相等.

解

当 时

原式

当 时

原式

左右极限存在且相等，故 .

用泰勒展开计算极限

-+----< 例题7 >----+-

求极限 .

分析 由于分母等价于 ，故分子要求最低展开到 阶，且注意一定不要漏项.

对 展开有

对 展开有 展开到 阶足以，再往下就是 阶多余了.

对 展开，

再对其里面的 进行展开，对于高于 次的项丢掉即可，则有

解

原式

带抽象函数的极限计算

-+----< 例题8 >----+-

设函数 在 连续，且 ，则 .

分析 注意到，当 时，，因为 ，由于 比 更快趋近于 ，故 ，也可用洛必达验证.

又由于 在 连续，故 ，则 .

分段函数分段点连续极限计算

-+----< 例题9 >----+-

设 在 处连续，则 为

分析 由连续定义可知，要使其连续只需保证

解

，解得 .

不可局部代入极限值计算的极限问题

-+----< 例题10 >----+-

设 在 可导，且 ，则 .

分析 因为 就将 带入原极限，就是标准的错误，经典的零分. 原因直接带入所得为 ，实际上是一个未定式. 故我们考虑对式子进行变形处理.

解

原式

⪡ 注 ⪢

本题也可以考虑用泰勒展开，但不可用洛必达，不满足洛必达的使用条件.

用拉格朗日中值定理计算极限

-+----< 例题11 >----+-

设 在 上二阶可导，且 ，求 .

分析 形如 的式子，就可以考虑用拉格朗日中值定理. 但注意到当 时，，继而 ，不为一个非零因子，就认为这道题不可用拉格朗日中值定理. 事实上，当 时，， 由于 是介于 与 之间，由夹逼定理可知 也等价于 .

解

原式 ( 其中 介于 与 之间 )

⪡ 注 ⪢

不可用洛必达，但可以采用泰勒展开.

间断点问题

-+----< 例题12 >----+-

设 ，求其间断点.

分析 注意到，当 时， 时，，当 时，，这是由于 是个实实在在的数，并不是 未定式. 且注意到，当 时， 无定义.

解

当 时， 无定义，

当 时，

故 为 的可去间断点， 为 的跳跃间断点.

⪡ 注 ⪢

求间断点，主要考虑无定义点和分段点处.

-+----< 例题13 >----+-

设 ，求其间断点.