高等数学 第二章 导数与微分

第二章 导数与微分

本章节不提供详细的知识点.

函数的微分

微分的定义

设 在 的某邻域 内有定义，并设 如果

可写成

其中 与 无关，，则称 在点 处可微，并称 为 在 处的微分，记为 又因自变量的增量 等于自变量的微分 ，于是 又可写成

⪡ 注 ⪢

以 直 代 曲，这便是微分的含义.

dx ∆x，dy ∆x，ds ∆s 关系

首先先要明确的是， 代表的是微观的意义 ( 微 )，而 代表的是宏观的概念 ( 宏 ).

由下图，易知

  • ( 为直线 ， 为曲线 )

额外的，还有 ( 此处 "=" 代表化曲为直 )

弧微分

直角坐标系形式

参数方程形式

极坐标形式

可导、可微，连续 三者关系

在一元函数微分学中，可导 可微 ，可导 连续 ，连续 可导.

且对任意的 有，

函数的微分 和 函数的增量 关系

设 在 处可导 ( 可微 ) ，则有

或者

若又设在含有 的某区间内存在二阶导数，则由拉格朗日余项泰勒公式有

其中 介于 与 之间.

微分形式不变性

对于 不管 是自变量还是中间变量，函数的微分的表达式都有形式不变性，即

变限积分求导公式

设 为连续函数， 与 均可导，则有

阶导数运算法则

以下均设 为 阶可导，则有

最后一个公式称为乘积的高阶导数的 莱布尼茨公式.

常见的 n 阶导数公式

其中第 条中，若 为某一正整数 ，则 ，

反函数导数

设 可导且 ，则存在反函数 ，且

即

若又设 存在二阶导数，则

极值

极值的定义

设 在 的某邻域有定义，如果存在一个邻域 ，当 时有 ，称 为 的一个 极小 ( 极大 ) 值，点 称为 的一个 极小 ( 极大 ) 值点.

极值的第一充分条件

设 在 处连续，在 的去心邻域内可导.

  1. 若在 的左侧邻域内 ，右侧邻域内 ，则 为 极大值;
  2. 若在 的左侧邻域内 ，右侧邻域内 ，则 为 极小值.

极值的第二充分条件

设 在 处存在二阶导数，

  1. 若 ，则 为 极大值.

  2. 若 ，则 为 极小值.

-+----< 例题1 >----+-

设 对一切 满足方程 ，且 在 处 ，则 是否为极值点？

解

将 带入原方程有，

且注意到，无论 或 均有 ，此时 ，则 为极小值.

渐近线

水平渐近线

若 ，则 是一条 水平渐近线;

若又有 ，则 也是一条水平渐近线 ( 若 ，则当然只能当作一条 ).

铅直渐近线

若存在 ，使 ( 或 )，则 是一条 铅直渐近线. 这里的 先由观察法观得，一般考虑分母为零处、对数的真数为零处等.

斜渐近线

是曲线 的一条斜渐近线的充要条件是 . 这里 也可以改成 . 若 上式成立，即为 水平渐近线.

泰勒公式 求 斜渐近线

若当 时 ( 同理 )， 可展开成 或 ( 其中 、 为 无穷小 )，此时 为该曲线 在 时 ( 或 ) 的斜渐近线.

-+----< 例题2 >----+-

求 的斜渐近线.

分析 考虑提出来一个 ，则有 ，对上下同除 则有 考虑对 泰勒展开，有 带入原式有， 再对 泰勒展开，则有 ，代入最终解得斜渐近线为 .

求 隐函数 斜渐近线

-+----< 例题3 >----+-

求解笛卡尔叶形线 所确定的斜渐近线.

  1. 法一 将隐函数方程转化为参数方程

令 ，则 ，则有

当 时，有

由斜渐近线公式得，

由此可得 斜渐近线为

  1. 法二 直接代入斜渐近线公式计算

不妨令 ，

对原式方程两边同时除以 得 取极限得 ，

由于 ，由原方程可得 ，

对右边上下同时除以 得

此时，取极限有

由此可得 斜渐近线为

  1. 直接代入法

将 直接带入原方程有

整理得

令 的最高次的系数和次高次系数为 ，有

解得 ，.

由此可得 斜渐近线为

结论

  1. 由二元高次方程所确定的隐函数存在斜渐近线的必要条件是二元高次方程中 最高次幂项至少 有 两项. 如例题所示，方程 中，最高次幂为 的项有两项.

  2. 若 ，令 的最高次幂与次最高次幂的系数为 ，得关于 与 的联立方程组，解得 与 ，则直线 是曲线的斜渐近线.

曲率、曲率圆 与 曲率半径

曲率

一般形式求曲率

设 ，则有

参数方程求曲率

设参数方程 ，则有

极坐标求曲率

设极坐标 ，则有

曲率圆 与 曲率半径

设 存在二阶导数，曲线 在其上点 处的曲率圆表达式则为

其中 为

表示该曲率圆的圆心 ( 点 的曲率中心 )，且：

但注意到，曲率圆和曲线相切 ( 圆心到切点为半径 ) 且圆心在曲线的法线上，此时联立方程组会求出两组解，根据二阶导的凹凸性可以判断圆心所在位置.