高等数学 第六章 微分方程

第六章 微分方程

常微分方程的概念

一阶线性微分方程

形式

通解

可降阶的高阶微分方程

形式

高阶线性微分方程

该部分请结合线性代数来对比理解.

齐次方程

形式

定理 如果 和 是 齐次方程 ( 1 ) 的两个 线性无关 的 特解，则

就是该 齐次方程 ( 1 ) 的 通解.

非齐次方程

形式

定理 如果 是 非齐次方程 ( 2 ) 的一个 特解， 和 是 齐次方程 ( 1 ) 的两个 线性无关 的 特解，则

就是该 非齐次方程 ( 2 ) 的 通解.

定理 如果 是 非齐次方程 ( 2 ) 的两个 特解，则

就是 齐次方程 ( 1 ) 的 通解.

定理 如果 是方程

的 特解，则

是方程 的一个 特解 ( 叠加性 ).

常系数齐次线性微分方程

形式

特征方程

其中次方由导数阶数确定.

设 是特征方程的两个 根.

1. 不等实根 .

2. 相等实根 .

3. 共轭复根 ( 可由 欧拉公式 推出 ).

对于三阶以上常系数齐次线性微分方程，将其特征根对应的通解加起来则为该方程的 通解.

例如特征根为 所对应的解为 .

常系数非齐次线性微分方程

形式

1. 当 令 ( 其中 由 为原方程的几重特征根而定，如 重特征根则设 ， 则为 的一般形式，如 则设 ).
2. 当 令 ( 取多项式次数最高的 ).

欧拉方程

形式

此时，令 ，此时有 ( 其中 )，继而将其转换为 阶常系数线性微分方程.