概统 第一章 随机事件及其概率

第一章 随机事件及其概率

随机事件

  1. 样本点 ( sample point ) ：随机试验中每一个可能结果.

  2. 样本空间 ( sample space ) ：随机试验所有可能结果组成的集合，记为 .

  3. 随机事件 ：某些样本点的集合.

  4. 基本事件 ：单个样本点构成的集合.

  5. 不可能事件 ：不含任何样本点，记作 .

事件间的关系、运算

  1. 吸收率 ：若 ，则 ，.

  2. 交换律 ：，.

  3. 结合律 ：，.

  4. 分配律 ：，，.

  5. 对偶律 ：，.

  6. 事件的积 ：.

  7. 事件的和 ： ( 互不相容 ).

  8. 事件的差 ：.

概率和条件概率的概念

概率与长度、面积、质量...是同一概念，是一种度量. 概率是事件 出现可能性大小的数值度量，记为 .

概率的公理化定义

  1. 非负性 ：对于每一个事件 ,.

  2. 规范性 ：对于必然事件 , .

  3. 可列可加性 ：设事件 ， 两两互不相容，即对于 ， 则

条件概率

  1. 在事件 发生的条件下，事件 发生的概率，记为 ，定义 .

概率的基本性质

  1. 对于任意事件 ，.

  2. .

  3. 若 两两互不相容，则

  4. ，.

  5. .
    🌼🌻 🌼🌼🌻
    如果 ，则 ，.

  6. .
    . 加奇减偶

⪡ 注 ⪢

，不能断言 ，，不能断言 .

概率的基本公式

  1. 乘法公式 ：.

    当 先于 发生时用乘法公式

  2. 全概率公式 ：如果事件 构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为 ；并且 ，则对任意事件 ，有

  3. 贝叶斯公式 ：如果事件 构成一个完备事件组，且 ，则对正整数 ，有 特别地，上式中取 ，并将 记为 ，此时 就是 ，那么贝叶斯公式成为条件概率公式，即

⪡ 注 ⪢

全概率公式与贝叶斯公式使用的关键是要找到导致事件 发生的完备事件组.

概率的计算

古典概型

如果实验只有 个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性相同，对于该试验的事件 ，有 所包含的基本事件个数基本事件的总数

几何概型

若试验的样本空间是几何区域 ( 直线、面积或体积 )，其度量大小可用 表示，且任意点落在度量相同的子区域内是等可能的. 当事件 为 的某一个子区域，其度量为 ，则事件 发生的概率为

事件的独立性

定义

若事件 和 相互独立，则有

容易知道，若 ，，则 相互独立 与 互不相容 不能同时成立.

称三个事件 相互独立，如果它们满足四个等式 :

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

    如果 仅满足前三个等式，则称它们 两两独立.

称 个事件 相互独立，如果它们中任意 个 ( ) 事件的积事件的概率都等于各事件概率的乘积.

称 是一个 相互独立 的随机事件序列，如果它们中任意有限个事件都相互独立.

性质

1、 设 为两个事件，则

  1. 相互独立

  2. 与 都与任意事件独立.

  3. 与 独立 与 独立 与 独立 与 独立.

2、 若事件 相互独立，则

  1. 其中任意 个事件 相互独立.

  2. 其中任意一个事件与其余任意 个事件运算 ( 和、差与交 ) 也独立.

  3. 将任意 个事件分别换成其对立事件后所得 个事件也独立.

独立重复试验与伯努利公式

独立重复试验

如果在两个或多个试验中与各试验相联系的事件之间相互独立，且同一事件在各个试验中出现的概率相同，则称这些试验是 独立重复试验.

伯努利试验

在 独立重复试验 中，每次试验中只有两种可能的结果，即 "成功" 和 "失败"，并且 "成功" 与 "失败" 是相互独立的，则称这种试验为 伯努利试验. 当将一个伯努利试验重复地进行 次，则称这 次重复试验为 重伯努利试验.

伯努利公式 ( 二项概率公式 )

设在每次试验中，，则在 重伯努利试验中事件 发生 次的概率 为

如果用 表示 重伯努利概型中事件 发生的次数，则 服从 二项分布 .

伯努利概型的特征是：只论次数，不管顺序.