第三章 多维随机变量及其分布

维随机变量概念

如果 是定义在同一个样本空间 上的 个 随机变量，则称 为 维随机变量 或 维随机向量， 称为 维随机变量的 第 个分量.

当 时，称 为 二维随机变量 或者 二维随机向量.

维随机变量的分布函数的概念

对任意的 个实数 ，称 元函数

为 维随机变量 的 分布函数，或随机变量 的 联合分布函数.

当 时，对任意的实数 ，称二元函数

为二维随机变量 的 分布函数 或随机变量 和 的 联合分布函数，记为 .

二维随机变量的分布函数的性质

1. ，且 是对 和 的 单调不减函数.

2. ，.

3. 关于 和 上均 右连续，即 ，.

4. 随机点 落在矩形域 上的概率为

二维随机变量的边缘分布函数

设二维随机变量 的分布函数为 ，分别称 和 为二维随机变量 关于 和关于 的 边缘分布函数. 边缘分布函数 和 与二维随机变量 的分布函数 有如下关系:

同理可得，.

⪡ 注 ⪢

对于 而言，由 的分布函数可以确定关于 、关于 的边缘分布函数. 反之，由关于 和关于 的边缘分布函数一般是不能确定 的分布函数的. 只有当 相互独立 时，由两边缘分布函数能确定 的分布函数.

二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布、条件分布

二维离散型随机变量的概率分布

如果二维随机变量 可能取值为有限个或无穷可列个 ，则称 是 离散型的随机变量. 设二维离散型随机变量 的可能取值为 ，则称 取值 的概率

为二维离散型随机变量 的 概率分布 ( 分布律 )，或称为随机变量 和 的 联合概率分布 ( 联合分布律 ).

表格法表示：

二维离散型随机变量的概率分布的性质

1. .

二维离散型随机变量的联合分布函数

设 的概率分布为 ，则 的 分布函数 或 和 的 联合分布函数 为

二维离散型随机变量的边缘概率分布

二维离散型随机变量 关于 与 的 边缘概率分布 分别定义为:

其中，记号 中的 "·" 表示 是由 关于 求和后得到的; 同样， 是由 关于 求和后得到的，即它们分别为联合分布律表格中第 行与第 列诸元素之和.

二维离散型随机变量的条件概率分布

设二维离散型随机变量 的概率分布为 ，对于给定的 ，若 ，则称

为在 的条件下随机变量的条件概率分布.

同样，对于给定的 ，若 ，则称

为在 的条件下随机变量 的 条件概率分布.

二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘概率密度、条件概率密度

二维连续型随机变量的联合概率密度

设二维随机变量 的分布函数为 ，如果存在 非负可积函数 使对于任意 ，有

则称 为 二维连续型随机变量，称函数 为二维随机变量 的 概率密度，或称为随机变量 和 的 联合概率密度·

二维连续型随机变量的联合概率密度的性质

1. .

2. .

3. 设 为某个平面上某个区域，则点 落在区域 内的概率为

4. 若 在点 处连续，则有 .

二维连续型随机变量的边缘概率密度

设二维连续型随机变量 的概率密度为 ，由

可知， 也是一个连续型随机变量，且其概率密度为

则分别称

为二维连续型随机变量 关于 和关于 的 边缘概率密度.

二维连续型随机变量的条件概率密度

设二维连续型随机变量 的概率密度为 ，边缘概率密度 和 连续且恒大于 ，则称 为在条件 下 的条件概率密度，称 为在条件 下 的条件概率密度，分别记作 和 即

对于二维连续型随机变量 的条件分布函数 和 ，有

⪡ 注 ⪢

在求条件概率密度时应该注意定义域:确保作为条件的边缘概率密度大于 ，因此要除去边缘概率等于 的点.

密度乘法公式

二维随机变量的独立性

独立性的概念

设 及 分别是二维随机变量 的分布函数及边缘分布函数.如果对于任意的 ，都有

则称随机变量 与 相互独立.

相互独立的充分必要条件与性质

相互独立的充要条件

1. 对于二维离散型随机变量 ，随机变量 与 相互独立 的充要条件是

2. 对于二维连续型随机变量 ，随机变量 与 相互独立 的充要条件是

其中 为 的连续点.

相互独立的性质

1. 若随机变量 相互独立，则其中任意 个随机变量也 相互独立.

2. 若随机变量 相互独立，则它们的函数 也 相互独立.

3. 若两个随机变量独立，则一个关于另一个的条件分布就是其无条件分布. 即 : 对于二维离散型随机变量 ，若 与 独立，则条件分布等于其边缘分布; 对于二维连续型随机变量 ，若 与 独立，则条件密度等于其边缘密度.

两个常见的二维连续型随机变量的分布

二维均匀分布

均匀分布的概念

设 是平面上的 有界区域，其面积为 . 若二维随机变量 具有联合概率密度

则称 在区域 上服从 均匀分布.

二维均匀分布的性质

1. 服从区域 上均匀分布的随机变量 ，它在 上任何一个子区域 内取值的概率只与该子区域的 面积 的大小 有关，而与该子区域 在 内的 位置 和 形状无关，即

如果设 的概率密度为 ，则

2. 二维均匀分布的边缘分布、条件分布以及数字特征都与区域 的形状密切相关，例如，圆形区域 ，则区域 上的二维均匀分布的两个边缘分布都不是均匀分布，而其中一个变量关于另一个变量的条件分布都是均匀分布. 再如矩形区域 ，则二维均匀分布的两个边缘分布分别为区间 和 上的一维均匀分布.

二维正态分布

二维正态分布的概念

如果二维连续型随机变量 的联合概率密度为

则称 服从参数为 的 二维正态分布，记作 . 其中 均为 常数 且 . 也称 是一个 二维正态变量.

二维正态分布中参数的概率意义

二维正态分布中 个参数的概率意义分别为 : ，而 则是 与 的相关系数，即 .

二维正态分布的性质

设 ，则

1. .

⪡ 注 ⪢

该命题的逆命题不成立:即便 和 都服从正态分布，甚至 和 的相关系数等于 和 的联合分布也未必是二维正态分布.
当然,若 和 都服从正态分布并且 相互独立，则 和 的联合分布一定是二维正态分布.

2. 与 相互独立 ( 不相关 ) ( 当 满足联合分布为正态分布的要求时， 不相关可推出 独立 )

3. 两个正态分布随机变量 与 的任意线性组合 ( 为任意实数，且不全为 ) 仍服从正态分布 ( 需满足 的联合分布是正态 )，且

多维随机变量函数的分布

多维随机变量函数的分布的概念

设 为随机变量， 是二元函数，则以随机变量 作为变量的函数 也是随机变量，称之为 随机变量 的函数.

对于一般随机变量函数 的分布，有如下最一般公式

二维离散型随机变量函数的分布的求法

设 是二维离散型随机变量，联合分布为 ，则

1. 也是离散型随机变量，其分布律为 ，即

如果对不同 中有相同的 ，则合并诸项为一项 ，并将相应的概率 相加作为 取值为 的概率,即

2. 如果 ，则 为二维离散型随机变量，求 联合分布的方法有

方法一 直接法 直接计算

方法二 边缘分布与条件分布法

首先求出 的边缘分布律，再求得 的联合分布的部分值，最后通过边缘分布与联合分布的关系求得 的联合分布律.

常见的二维连续型随机变量函数的分布的求法

1. 的分布

设 的联合分布函数为 ， 与 的分布函数分别为 和 ，则 与 的分布函数分别为

特别地，当 相互独立，则有