概统 第四章 随机变量的数字特征

第四章 随机变量的数字特征

随机变量的数学期望的概念与性质

数学期望的概念

离散型随机变量的数学期望

设离散型随机变量 的分布律为 . 若无穷级数 绝对收敛，则称它的和为随机变量 的 数学期望 或 均值，记为 或 ，即

连续型随机变量的数学期望

设连续型随机变量 的概率密度为 ，若反常积分 绝对收敛，则称此反常积分的值为随机变量 的 数学期望 或 均值，记为 或 即

⪡ 注 ⪢

1. 随机变量 的数学期望 是一个 实数.
2. 数学期望 完全由随机变量 的概率分布所确定. 若 服从某一分布，也称 是这一分布的数学期望.
3. 如果上述的无穷级数或反常积分不绝对收敛，则称随机变量的数学期望不存在.

随机变量的数学期望的性质

1. ，其中 为常数.

2. ，其中 为常数， 为随机变量.

3. ，其中 和 为任意两个随机变量.

4. 若随机变量 和 相互独立，则 .

⪡ 注 ⪢

性质4要求 与 相互独立，该条件其实可以减弱为 与 不相关. 事实上， 成立的充要条件是 与 不相关.

随机变量函数的数学期望

一个随机变量 的函数 的数学期望

1. 设 是离散型随机变量，其概率分布为 ，如果无穷级数 绝对收敛，则随机变量 的 数学期望 为

2. 设 是连续型随机变量，其概率密度为 ，如果反常积分 绝对收敛，则随机变量 的 数学期望 为

二维随机变量 的函数 的数学期望

1. 设 是离散型随机变量，其概率分布为 ，如果无穷级数 绝对收敛，则随机变量 的 数学期望 为

2. 设 是连续型随机变量，其概率密度为 ，如果反常积分 绝对收敛，则随机变量 的 数学期望 为

随机变量的方差的概念及性质

方差及标准差的概念

1. 设 是一个随机变量，若 存在，则称之为 的 方差，记为 ，即

显然有，.

且称 为 的 标准差 或 均方差，记为 .

称 为 的 标准化随机变量，此时 .

方差的计算公式

方差的重要性质

1. ，其中 为常数. 为 只能推出 几乎处处为某个常数而不能推出 为常数.

2. ，其中 为常数， 为随机变量.

3. ，其中 为任意两个随机变量.

当随机变量 相互独立 时

有 ，此时有 .

且有

⪡ 注 ⪢

的充要条件是 以概率 取常数 ，即 ，这里

对任意常数 ，有 .

常见的随机变量的数学期望和方差

分布	分布列或概率密度	数学期望	方差
0-1分布

协方差与相关系数

协方差

协方差的概念

设 是二维随机变量，如果 存在，则称它为随机变量 与 的 协方差，记作 ，即

协方差的性质

2. ，其中 为常数.

相关系数

相关系数的概念

如果 的方差都存在且都不等于零，则称 为随机变量 与 的 相关系数，记作 ，即

相关系数的性质

1. .
2. 的充要条件是，存在常数 ，使得 .

随机变量 与 不相关

如果随机变量 与 的相关系数 ( 即 )，则称 与 不相关. 关于随机变量 与 的独立性与相关性,有如下结论:

1. 若随机变量 与 独立，则 与 一定 不相关; 但是若 与 不相关，则 与 不一定独立.

2. 若随机变量 与 的联合分布是 二维正态分布，则 与 独立的充要条件是 与 不相关.

3. 若随机变量 与 都服从 0-1分布，则 与 独立的充要条件是 与 不相关.

对于随机变量 与 ，下面四个结论是等价的

与 不相关

随机变量的矩

设 是二维随机变量. 如果 存在，则称 为 的 阶 原点矩;

称 为 的 阶 中心矩;

称 为 与 的 阶 混合原点矩;

称 为 与 的 阶 混合中心矩.

从上述定义看出 : 数学期望 是 的一阶原点矩，方差 是 的二阶中心矩，协方差 是 与 二阶混合中心矩.