概统 第五章 大数定律及中心极限定理

第五章 大数定律及中心极限定理

大数定律

依概率收敛

设 是一个 随机变量序列， 是一个 常数，若对于任意给定的正数 ，有

则称随机变量序列 依概率收敛于常数 . 记作 .

⪡ 注 ⪢

设 ，又设函数 在点 连续，则 .

切比雪夫不等式

设随机变量 的 数学期望 和 方差 都 存在，则对任意给定的 ，总有

切比雪夫不等式给出了在随机变量 的分布未知，而只知道 和 的情况下估计概率 的界限.

切比雪夫大数定律

设随机变量 相互独立，数学期望 和 方差 都 存在，并且方差有 公共上界，即 则对任意给定的 ，有

伯努利大数定律

设随机变量 服从参数为 和 的 二项分布，即 ， 是 次实验中事件 发生的次数 ，则对任意给定的 ，有

辛钦大数定律

设随机变量 相互独立同分布，期望存在，记 为它们共同的期望，则对任意 ，有

中心极限定理

列维-林德伯格定理

设随机变量 相互独立同分布，且 数学期望 和 方差存在，即

则对任意实数 ，恒有

其中 是标准正态分布的分布函数.

⪡ 注 ⪢

1. 定理的三个条件 : "独立、同分布、数学期望 与 方差存在"，缺一不可.
2. 只要 满足定理条件，那么当 很大时，独立同分布随机变量的 就 近似于标准正态分布 ，且 的标准化随机变量 近似服从标准正态分布 .

棣莫弗-拉普拉斯定理

假设随机变量 服从参数为 的 二项分布，则对任何实数 ，有

⪡ 注 ⪢

该定理表明，当 充分大时，服从 的随机变量 的标准化随机变量 就 近似服从标准正态分布 ，或者说 近似服从 .