概统 第六章 数理统计的基本概念

第六章 数理统计的基本概念

总体与样本

总体、简单随机样本、抽样的概念

1. 在数理统计中所研究对象的某项数量指标 取值的全体称为 总体， 是一个 随机变量. 的分布函数和数字特征分别称为 总体 的 分布函数 和 数字特征. 总体中的每个元素称为 个体，每个个体是一个 实数.

2. 个 相互独立 且与总体 ( 设 的分布函数为 ) 同分布 的随机变量 称为来自总体 或来自分布函数 的 简单随机样本，简称为 样本， 称为 样本容量; 设 分别是 的 观测值，则称 为 样本值，又称为总体 的 个 独立的观测值. 简单地说，样本指一组随机变量，样本值指一组具体的统计数据，样本容量指观测值或数据个数.

3. 对于总体 的 次 独立重复观测，称为来自总体 的 次 简单随机抽样.

简单随机样本的概率分布

1. 如果总体 的分布函数为 是来自总体 的简单随机样本，则随机变量 的联合分布函数为

2. 如果总体 的概率密度为 ，则样本 ，的联合概率密度为

3. 如果总体 的概率分布为 ，则样本 的联合概率分布为

其中 取 中的某一个数.

统计量

统计量的概念

设 是来自总体 的样本， 是一个关于 的函数，若 中 不含任何未知参数，则称 为样本 的 一个统计量. 设 是相应于样本 的样本值，则称 是 的 观测值.

统计量是样本 的函数 : . 统计量不依赖于任何未知参数. 作为随机样本的函数，统计量也是 随机变量. 样本的数字特征是最常用的统计量.

常用统计量

设 是来自总体 的简单随机样本，则

1. 样本均值 .

2. 样本方差 .

3. 样本标准差 .

4. 样本阶原点矩 .

5. 样本阶中心矩 .

⪡ 注 ⪢

1. 如果总体 ( 不管服从什么分布，只要其 均值 和 方差存在 ) 具有数学期望 和方差 ，则总有

2. .

3. 如果总体 的 阶原点矩 存在，则当 时，有

抽样分布

来自正态总体的三个常用统计量的分布

分布

分布是一种 非负连续型随机变量的分布，其密度函数的图形位于第一象限，峰值向左偏，随着 的增大，峰值向右移动.

典型模式

设 相互独立，都服从 标准正态分布 ，则称统计量

服从自由度为 的 分布，记为 . 此处，自由度是指上式右端包含的 独立变量 的 个数.

分布的分位点

对于给定的 ，称满足条件

的点 为 分布的上 分位点. ( 如上图所示 )

分布的性质

1. 分布的数学期望和方差分别为 .

2. 分布具有可加性 : 设 ，且 相互独立，则有

分布

分布是一种连续型随机变量的分布，其密度函数的图形关于 轴对称，形状与标准正态分布曲线相类似.

典型模式

设 ，且 相互独立，则称随机变量

服从自由度为 的 分布，记为 .

分布的分位点

对于给定的 ，称满足条件

的点 为 分布的上 分位点. ( 如上图所示 )

由 分布上 分位点的定义及 图形的对称性知 .

分布的性质

1. 分布的概率密度函数 是 偶函数，且有 可见，当 足够大时 分布近似于 分布，但对于较小的 分布于 分布相差较大.

2. 若 ，则 .

分布

分布是一种 非负连续型随机变量 的分布，其密度函数含有两个参数 ，函数曲线的形状于 分布相似.

典型模式

设 ，且 相互独立，则称随机变量

服从自由度为 的 分布，记为 .

分布的分位点

对于给定的 ，称满足条件

的点 为 分布的上 分位点. ( 如上图所示 )

分布的性质

1. 如果 ，则 .

2. .

正态总体的样本均值与样本方差的分布

单个正态总体

设 ， 是来自总体 的简单随机样本， 与 分别为相应的样本均值和样本方差，则

1. 样本均值的分布:

1. 样本方差的分布:

• 与 相互独立. ( 正态总体特有的性质 )

两个正态总体

设 与 分别是来自正态总体 和 的样本，且这两个样本 相互独立 ( 注 : 指随机变量 与 相互独立 ). 设 和 是相应的样本均值和样本方差， 是总体 和 的 联合样本方差，记

则

1. 样本均值差的抽样分布

2. 样本方差比的抽样分布

特别地，当 时，

和 的分布

设总体 的分布函数为 是来自总体 的简单随机样本，则统计量 和 的分布函数分别为