证明 华理士公式 ( 点火公式 )

要证明华理士公式 的递推关系及其具体表达式，我们可以使用递推法和数学归纳法. 以下是详细的证明步骤：

1. 递推关系的建立

首先，我们考虑 .

使用分部积分法，设 和 ，则 和 .

根据分部积分公式：

由于 和 ，边界项为零. 因此：

利用三角恒等式 ，得到：

整理得到递推关系：

2. 递推关系的应用

根据递推关系 ，我们可以逐步计算 .

情况一： 为正偶数

设 ，其中 为正整数. 则：

继续递推，直到 ：

已知 ，因此：

情况二： 为大于 1 的正奇数

设 ，其中 为正整数. 则：

继续递推，直到 ：

已知 ，因此：

3. 综合表达式

综合上述两种情况，我们得到：

4. 结论

通过递推关系和数学归纳法，我们证明了定积分公式 的具体表达式. 这个公式在计算涉及高次幂的三角函数积分时非常有用.