高等数学 第十二章 无穷级数

第十二章 无穷级数

常数项级数的概念和性质

常数项级数

设数列 为常数列，称 为 常数项级数.

常数项级数的敛散性

把 称为级数 的 部分和.

若 存在，则称级数 收敛.

令 ，称级数 收敛于 ，记为 .

若 不存在，则称级数 发散.

常数项级数的基本性质

性质一 ( 和差法则 )

设 ，，则 .

⪡ 注 ⪢

  1. 若级数 与级数 一个收敛一个发散，则 必发散.

  2. 若级数 与级数 两个都发散，则 不一定发散.

和极限性质类似.

性质二 ( 常数倍法则 )

设 ，则 ，特别地，若 ，则 与 有相同的敛散性.

性质三 级数增加、减少、改变有限项不改变级数的敛散性.

性质四 ( 级数收敛的必要条件 )

若 收敛，则 .

反之，若 ，则 不一定收敛. ( 调和级数 ).

⪡ 注 ⪢

发散.

性质五

如果级数 收敛，那么对这级数的项任意加括号后所成的级数 仍收敛，其和不变.

两个重要的级数

  1. 级数：形如 的级数称为 级数.

1.若 ， 级数 发散;

2.若 ， 级数 收敛.

  1. 几何级数：形如 的级数称为几何级数.

1.若 ，几何级数 发散;

2.若 ，几何级数 收敛，其和为

积分判别法

设 是一个正数项序列，假定对 ( 是一个正整数 )，， 是 的一个连续的，正的，递减函数，则

级数 和积分 有相同的敛散性.

正项级数及其审敛法

  1. 正项级数

设 为常数项级数，若对所有的 ，有 ，则称 为 正项级数.

⪡ 注 ⪢ 正项级数的最大特点就是部分和数列 .

  1. 正项级数审敛法

定理一 正项级数 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列 有界.

定理二 设 和 都是正项级数，正项级数审敛法如下：

比较审敛法

  1. 基本形式

    1. 若 ，且 收敛，则 收敛；

    2. 若 ，且 发散，则 发散.

    大敛小敛，小散大散.

  2. 极限形式

    若 ，则级数 与 敛散性相同.

[推论]

  1. 若 ，且 收敛，则 收敛.

  2. 若 ，且 发散，则 发散.

比值审敛法

设 ，则当 时，级数 收敛，当 时，级数 发散.

根值审敛法

设 ，则当 时，级数 收敛，当 时，级数 发散.

⪡ 注 ⪢ 对于 比值审敛法 和 根值审敛法 当 时，级数 可能收敛或发散.

交错级数及其审敛法

  1. 交错级数

称 或 为 交错级数，其中

  1. 莱布尼茨审敛法

如果交错级数 满足条件:

  • ( 要求 单调递减 )

  • ，那么级数收敛，其和

⪡ 注 ⪢

  1. 交错级数的两个条件是交错级数收敛的充分条件，不一定必要. 不单调递减，交错级数可能收敛也可能发散.

  2. 也是交错级数收敛的必要条件.

级数的条件收敛和绝对收敛

绝对收敛和条件收敛的概念

  1. 若级数 收敛，则称 绝对收敛.

  2. 若级数 收敛，而 发散，则称 条件收敛.

绝对收敛和条件收敛的关系

定理 若级数 绝对收敛，则 条件收敛，反之不对.

幂级数

函数项级数

  • 称为 函数项级数.

    确定 的值后，函数项级数变为常数项级数.

  • ，若此级数收敛，

    则称 为级数 的 收敛点.

  • 所有收敛点组成的集合称为 的 收敛域.

  • ，若 存在，则称

    为函数项级数的 和函数.

幂级数及其收敛性

  • 形如 称为 幂级数，特别地，当 ，幂级数变为

    ，其中

    为幂级数的 系数.

定理一 (阿贝尔定理)

对幂级数 ，当 时收敛，那么适合不等式 的所有 使幂级数 绝对收敛;

反之，，当 时发散，那么适合不等式 的所有 使幂级数 发散.

[推论]

除过在一点收敛或在整个数轴收敛的情况，幂级数一定存在 收敛半径 R，

当 时，幂级数绝对收敛；

当 时，幂级数发散；

当 时，幂级数可能收敛，可能发散.

定理二 (收敛半径的求法)

若，则收敛半径为：

⪡ 注 ⪢

根值法也可以求其收敛半径.

幂级数的性质

设幂级数 的收敛半径为 ，其和函数为 ，则：

性质一 幂级数 的和函数 在其收敛域 上连续.

性质二 幂级数 的和函数 在其收敛域 上可积，并有逐项积分公式

积分后得到的幂级数收敛半径不变.

性质三 幂级数 的和函数 在其收敛区间上可导，并有逐项求导公式

求导后得到的幂级数收敛半径不变.

函数展开成幂级数—用幂级数表示函数

常用泰勒公式、麦克劳林公式

可由 逐项积分得出，收敛域为 .

设 在 处收敛，在 处发散，则级数 的收敛半径为