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英语语法基本框架
10 种词性
9 种成分
8 种句型
10 种词性
noun ( 名词 n. )
pronoun ( 代词 pron. )
numeral ( 数词 num. )
article ( 冠词 art. )
verb ( 动词 v. )
adverb ( 副词 adv. )
adjective ( 形容词 adj. )
preposition ( 介词 prep. )
conjunction ( 连词 conj. )
interjection ( 感叹词 int. )
9 种成分
subject ( 主 )
predicate ( 谓 )
object ( 宾 )
attribute ( 定语 )
adverbial ( 状语 )
object complement ( 宾补 )
subject complement ( 表 )
double objec ...
第六章 微分方程
常微分方程的概念
一阶线性微分方程
形式
通解
可降阶的高阶微分方程
形式
高阶线性微分方程
该部分请结合线性代数来对比理解.
齐次方程
形式
定理 如果 和
是 齐次方程
( 1 ) 的两个 线性无关 的 特解，则
就是该 齐次方程 ( 1 ) 的 通解.
非齐次方程
形式
定理 如果 是
非齐次方程 ( 2 ) 的一个 特解， 和 是 齐次方程 ( 1 )
的两个 线性无关 的 特解，则
就是该 非齐次方程 ( 2 ) 的
通解.
定理 如果 是
非齐次方程 ( 2 ) 的两个 特解，则
就是 齐次方程 ( 1 ) 的 通解.
定理 如果 是方程
的 特解，则
是方程
的一个 特解 ( 叠加性 ).
常系数齐次线性微分方程
形式
特征方程
其中次方由导数阶数确定.
设 是特征方程的两个
根.
不等实根 .
相等实根 .
共轭复根 ( 可由 欧拉公式 推出
).
对于三阶以上常系数齐次线性微分方程， ...
第二章 导数与微分
本章节不提供详细的知识点.
函数的微分
微分的定义
设 在 的某邻域 内有定义，并设 如果
可写成
其中 与 无关，，则称 在点 处可微，并称 为 在 处的微分，记为 又因自变量的增量 等于自变量的微分 ，于是 又可写成
⪡ 注 ⪢
以 直 代 曲，这便是微分的含义.
dx ∆x，dy ∆x，ds ∆s 关系
首先先要明确的是，
代表的是微观的意义 ( 微 )，而 代表的是宏观的概念 ( 宏 ).
由下图，易知
( 为直线 ， 为曲线 )
额外的，还有 ( 此处 "="
代表化曲为直 )
弧微分
直角坐标系形式
参数方程形式
极坐标形式
可导、可微，连续 三者关系
在一元函数微分学中，可导 可微
，可导
连续 ，连续 可导.
且对任意的 有，
函数的微分 和 函数的增量
关系
设 在 处可导 ( 可微 ) ，则有
或者
若又设在含有
的某区间内存在二阶导数，则由拉格朗日余项泰勒公式有
其中 介于 ...
第一章 函数与极限
本章节不提供详细的知识点.
函数的奇偶性
奇 奇 偶
奇 偶 奇
奇 奇 奇
偶 偶 偶
奇复合奇 奇
偶复合偶 偶
偶复合奇 偶
任一定义在对称与原点的数集
上的函数 ，必可分解成
一奇一偶 函数之和
函数极限与无穷小关系
其中为常数为无穷小
证明：
先证充分性
设 ，由函数极限的定义有，对 ，，使得当 时，有 . 不妨令 ，则 为 时的无穷小. 且有 .
再证必要性
设 ，则有 ，由于当 时，
为无穷小，由函数极限的定义可知，对 ，，使得当 时，有 ，即 ，得证.
-+----< 例题1 >----+-
设 在 点处连续，且有 证明: 在 点处可导，且 .
证明：
由函数极限与无穷小关系可知，存在无穷小量 ，使得 ，
继而可得 ，又由于 在
点处连续，故 .
则
得证.
极限的保号性
设 ，且 ，则存在一个 的去心领域，使得在该领域内， 的符号与 相同.
证明：
设 ，由于 ，则对，，使得当 ...
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你的名字语录
早上醒来的时候，不知道为什么自己在哭，时常会有这样的情况，做过的梦总是回想不起，只是，有一种什么在消失的丧失感，即使醒来后，也一直存在.
ろく.
朝目覚めた時、なぜか泣いて、よくこのような場合、見た夢はいつも思い出せない、ただ、一つ消えた喪失感がなく、目覚めた後も、ずっと存在.
不管你在这个世界的哪个地方，我一定会，再次去见你的!
あなたは世界のどこにいても、私はきっと、またあなたに会いに行くと!
我来见你了，真是好不容易啊! 你在好远的地方啊!
お前に会いに来たんだ，大変だったよ，お前ずけ遠くにいるから!
我为什么要到这里来? ...我是为了见她而来! 我是为了救她而来!
我想要她活着! 是谁? 是谁? 我要见的是谁?
重要的人，不能忘记的人，不想忘记的人! 究竟是谁...是谁...究竟是谁?
你的名字是...? ! ! !
俺は、どうしてここに来た? ･･･あいつに･･･あいつに逢うために来た!
助けるために来た! 生きていて欲しかった! ･･･誰だ? 誰･･･! ?
誰に会いに来た･･･! ? 大事な人、忘 ...
Volta
支持不同项目使用不同 node 版本，更方便的版本管理工具.
优点
Volta 采用 Rust 语言编写 ( 高性能、高安全语言 )，具有极高的性能.
它的安装和切换速度非常快，能够显著提升开发效率.
Volta 能够自动检测项目中的工具版本 ( 如 Node.js 和
npm )，并在需要时
自动切换版本，确保不同项目之间的工具链互不干扰.
Volta
支持全局安装工具，并且确保所有项目都能使用这些全局工具，而无需重复安装.
Volta
通过锁定项目的工具版本，避免了工具版本不一致导致的问题，提高了项目的
稳定性 和 可维护性.
Volta 支持多种操作系统，包括
macOS、Linux 和
Windows，使其成为跨平台开发的理想选择.
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Getting Started
| Volta
使用 Volta
如果已经安装 NVM, 建议卸载 ( 可能含有冲突 ).
设置默认 node 版本
cmd键入此命令设置默认 node 版本
1volta install node@20.15.0
设置默认 ...
