本章节先研究数域上维向量及其子空间的结构和性质，再研究线性相关与线性无关的向量组.
数域定义
复数集的一个子集 如满足:
且
那么,称
是一个数域.
通俗来说，就是该数集内任意两个数的和、差、积、商(除数不为
)仍属于该集合，即对加减乘除四种运算封闭. 且明确指出包含加法的单位元
和乘法的单位元 .
( 有理数集 ) ( 实数集 ) ( 复数集 ) 都为数域. 但 ( 整数集 ) 不是数域，这是由于
对除法不封闭，可能出现小数.
任一数域都包含有理数域，即有理数域为最小数域.
向量空间定义
取定一个数域 ，设 是任意给定的一个正整数.令
如果，则称
中两个元素: 与 相等.
在 中规定加法运算如下
在 的元素与 的元素之间规定数量乘法运算如下
容易直接验证加法和数量乘法满足下述 条运算法则:对于 ，有
把元素 记作
,它使得
称 是 的零元 ( 具有唯一性
);
对于 ，令
有
称 是 的负元 ( 具有唯一性
) ...
IoC (inversion of control )
IoC ( 控制反转 ) 通过将控制权交给第三方来达到解耦.
相当于手动挡变成了自动挡，而无需自己 new 对象.
对于IoC有两种实现方式，分别为依赖查找 ( DL )
和依赖注入 ( DI ). 通常采用后者，也是spring的核心.
依赖注入 ( Dependency injection
)
在spring中，通过IoC容器，动态的将某个依赖关系注入到组件之中，减少对象之间的紧耦合性并提高可重用性.
spring IoC 容器
Spring 提供了两种 IoC 容器，BeanFactory 和
ApplicationContext.
BeanFactory
是最为基础的IoC容器，BeanFactory 就是一个管理
Bean 的工厂，它主要负责初始化各种
Bean，并调用它们的生命周期方法.
ApplicationContext
ApplicationContext 是 BeanFactory
的子接口，由 BeanFactory
派生而来，通常成为Spring上下文，具有 BeanFa ...
事务 ( transaction )
事务是指是程序中一系列严密的逻辑操作，而且所有操作必须全部成功完成，否则在每个操作中所作的所有更改都会被撤消.
即要么都完成，要么都失败.
事务的四大特性 ( ACID )
原子性 ( Atomicity )
一个事务 ( transaction )
中的所有操作，要么全部完成，要么全部不完成，不会结束在中间某个环节.
事务在执行过程中发生错误，会被回滚 ( Rollback )
到事务开始前的状态，就像这个事务从来没有执行过一样.
即，事务不可分割、不可约简.
一致性 ( Consistency )
在事务开始之前和事务结束以后，数据库的完整性没有被破坏.
这表示写入的资料必须完全符合所有的预设约束、触发器、级联回滚等.
隔离性 ( lsolation )
数据库允许多个并发事务同时对其数据进行读写和修改，隔离性可以防止多个事务并发执行时由于交叉执行而导致数据的不一致.
事务隔离分为不同级别，包括 读未提交 ( Read Uncommitted
)、读已提交 ( Read Committed
)、可重复读 ( R ...
AOP
AOP : Aspect Oriented Programming (
面向切面编程 ) ，OOP 是面向对象编程，AOP 是在
OOP 基础之上的一种更高级的设计思想.
利用AOP可以对业务逻辑的各个部分进行隔离，将公共部分的逻辑抽离出来，动态织入到目标类和目标方法中，从而使得业务逻辑各部分之间的耦合度降低，提高程序的可重用性，同时提高了开发的效率.
AOP 与 OOP 区别
OOP 注重业务逻辑单元的划分.
AOP 注重业务处理过程中的某个步骤或阶段.
AOP
用于处理系统中分布于各个模块的横切关注点，比如日志记录，性能统计，安全控制，权限管理，事务处理，异常处理，资源池管理等.
spring AOP 概念
通知 ( Advice ) : 定义切面在特定的连接点执行的动作.
通知有多种类型，包括前置通知、后置通知、返回通知、异常通知和环绕通知.
连接点 ( Join Point ) :
是程序执行过程中能够应用通知的 所有点.
切点 ( Poincut ) : 定义横切关注点应该被织入的位置.
切点通常使用表达式来匹配一个或多个连接点.
切 ...
JSR
JSR 是 Java Specification Requests 的缩写，意思是 Java 规范提案.
是指向 JCP ( Java Community Process )
提出新增一个标准化技术规范的正式请求. 任何人都可以提交 JSR，以向 Java
平台增添新的 API 和服务. JSR 已成为 Java 界的一个重要标准.
JSR-303
JSR-303 是 JAVA EE 6 中的一项子规范，叫做 Bean Validation，Hibernate
Validator 是 Bean Validation 的参考实现. Hibernate Validator 提供了 JSR
303 规范中所有内置 constraint 的实现，除此之外还有一些附加的
constraint.
引入依赖
12345<!-- JSR303依赖 --><dependency> <groupId>org.springframework.boot</groupId> <artifactId>spring-b ...
在学习卷积公式前，先浅谈一下二重积分的换元法
二重积分的换元法
二重积分换元法是将二重积分中的变量进行换元，即将原二重积分中的变量
和 分别用 和
来表示，从而将原二重积分化为新的二重积分.
定义
设 在 平面上的闭区域 连续，若变换
将 平面上 一对一映射到 ，且满足
在 上具有
一阶连续偏导数.
在 上雅可比行列式不为
0，即
则：
卷积公式
设 为二维连续性随机变量,
概率密度为 , 则 仍为连续性随机变量,
其概率密度为
或
当 与 相互独立得到卷积公式
或
那么怎么来的呢?
不失一般性地考虑，如果给出一个 ，那么 的概率密度应为什么呢?
不妨将 中的 、 反解出来，改写为 或
那么应用我们学到的二重积分换元法，做变换令 或者 那么 平面上的区域 就变成了 或 平面上的 .
现考虑上式中 的情形，解得
，不妨做变换令 ，那么 平面上的区域 就变成了 平面上的 . 求出它的雅可比行列式
继而可得
立即推
同理可得
...
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